In het Feynman-Kac-formalisme werd de propagator e-t(H0+V) uitgedrukt in functie van de Wienerintegraal van de Brownse brug:
We willen een soortgelijke formule bekomen voor een bredere klasse Hamiltonianen, nl. van de vorm
H(A) = (1/2)(-iÑ-A)2 + V
waar A een vectorveld is. Een dergelijke Hamiltoniaan beschrijft de evolutie van een deeltje onder invloed van een scalaire potentiaal V en een magnetische vectorpotentiaal A.
We zullen eerst het geval beschouwen waarin A een onbeperkt differentieerbare functie is waarvan alle afgeleiden willekeurig klein worden buiten een geschikte compacte verzameling punten. Voorts zullen we eerst een tussenresultaat met V = 0 formuleren (stelling 3.11) om een idee te krijgen van wat er precies met het magneetveld gebeurt. De specifieke moeilijkheid bestaat erin, een goede vervanger te vinden voor de integraal van A.v langs een niet-differentieerbaar pad, waar v in het differentieerbare geval de snelheid voorstelde.
Laten we eens de suggestie van Feynman volgen, de actie te berekenen die overeenkomt met een éénparig rechtlijnige beweging van x naar y die een tijd s/i (i de imaginaire eenheid).
We proberen dus
Ks(x,y) | = | (normalisatiefactor).e-S(s,x,y) |
= | (2ps)-n/2 e-||x-y||2/2s + i(A(x)+A(y)).(x-y)/2 |
waarbij, zoals aangekondigd, V = 0 gekozen werd, en s.(A(x)+A(y))/2 als een goede benadering voor de integraal van A(x(s)) voor s tussen 0 en s gezien werd.
Het volgende lemma toont aan dat de integraaloperatoren Qs met kernen Ks(x,y) 'lijken' op de halfgroep voortgebracht door H(A).
Zij A:Ân®Ân tweemaal differentieerbaar en laat A en zijn eerste afgeleiden willekeurig klein worden buiten een geschikt compact deel van Ân.
Definieer, voor s ³ 0, Ks:Ân ´ Ân ® C: (x,y) ® (2ps)-n/2 e-||x-y||2/2s + i(A(x)+A(y)).(x-y)/2
Zij Qs de integraaloperator in L2(Ân) met kern Ks:
Dan is Qs een begrensde operator met norm hoogstens 1 en bovendien is voor elke f Î D(H0) = {fÎL2;Ñf,DfÎL2}:
Zij Ps(x,y) := (2ps)-n/2 e-||x-y||2/2s de integraalkern voor e-sH0. De invloed van het magnetische veld doet zich slechts voelen als een faseverschuiving: |Ks(x,y)| = Ps(x,y) en dus:
Hieruit volgt dat ||Qs||2 £ ||e-sH0||2 £ 1 (de laatste ongelijkheid was lemma 2.3.2).
De rest van het bewijs is een rechtstreekse berekening, die enigszins ingekort kan worden door op te merken dat voor elk paar functies f en h:
Verder is voor ieder tweemaal differentieerbaar vectorveld A:
Nu kan de bewuste afgeleide uitgerekend worden.
De volgende stap wordt voor tweemaal differentieerbare f bekomen door partiële integratie. Als de afgeleiden van f slechts in distributiezin bestaan, is hij een rechtstreeks gevolg van de definitie van distributie-afgeleiden.
wat de berekening voltooit.
////
Nu we de werking van H0(A) onder controle beginnen te krijgen, is het mogelijk een resultaat te bewijzen dat sterk doet denken aan de productformule van Lie-Trotter. Ook het bewijs is ermee analoog. In feite zijn beide resultaten slechts bijzondere gevallen van een stelling van Chernoff. De bewering is de volgende.
Met A en Qs zoals in het vorige lemma is
s-limn®¥(Qt/n)n = e-tH0(A).
Zij D de Banachruimte D(H0) met norm |||f||| = ||H0(A)f||2 + ||f||2. Noteer St voor de halfgroep e-tH0(A). Het vorige lemma geeft dat
limn®¥ ||n(St/n - Qt/n)f||2 | = | t.lims®0 ||(Ss - Qs)f/s||2 |
= | t.lims®0 ||(Ssf - f)/s - (Qsf - f)/s||2 | |
= | t.lims®0 ||-H0(A)f + H0(A)f||2 | |
= | 0. |
Beschouw de familie {n(St/n - Qt/n);nÎN} begrensde operatoren van D naar L2(Ân). We hebben zojuist aangetoond dat deze aan de voorwaarden van Lemma 2.3.2 voldoet en dus is voor ieder compact deel K van D:
limn®¥ supfÎK ||n(St/n - Qt/n)f||2 = 0.
De stelling wordt nu bewezen door K = {Ssf;0£s£t} te kiezen voor een willekeurige gegeven f Î D. Dit is het continue beeld in D van het compacte interval [0,t].
Dan blijkt dat
Voor willekeurige f Î L2(Ân) en t ³ 0 gaat men tenslotte als volgt te werk. Zij e > 0 gegeven. Kies f0 Î D zodat ||St(f-f0||2 £ e/3 en ||f-f0||2 £ e/3. Kies n0 Î N zodat voor n ³ n0: ||(Qt/nn - St)f0||2 £ e/3.
Dan is
||(Qt/nn - St)f||2 | £ | ||(Qt/nn - St)f0||2 + ||Qt/nn...||.||f-f0||2 + ||St(f-f0||2 |
£ | e. |
De willekeur van e bewijst de stelling.
////
We zullen nu trachten het effect van e-tH0(A) te beschrijven als een padintegraal, steunend op de vorige stelling.
(waar xn = x).
Beschouw de coördinaten xn, xn-1,...,x0 nu als posities van een Brownse beweging op tijdstip 0, t/n,...,t:
(...) = L2-limn®¥Ex[g(b(t))eFn(b)], waar
Het blijkt dus nuttig te zijn de uitdrukking limn®¥Fn(b) te bestuderen. Deze heeft, op de factor i na, de vorm van een Riemann-Stieltjes-integraal
nochtans is voor Brownse beweging bijna geen enkel pad ergens differentieerbaar (zie bijvoorbeeld [Hida1] p. 52), zodat we aangewezen zijn op de beschrijving door middel van stochastische integralen.
Precies dezelfde argumenten kunnen aangevoerd worden om de stochastische integraal t.o.v. het Wienerproces in te voeren, dit om de L2-operatoren te bestuderen via hun matrixelementen (f,e-tHg), waar f en g kwadratisch integreerbare functies (al dan niet lid van een of andere orthogonale basis) zijn.
Zij b een n-dimensionale Brownse beweging, f:Ân®Ân continu differentieerbaar met f en f' begrensd.
Dan bestaat de volgende limiet in de zin van L2(Db):
en bovendien is
Stel
qn,m := f(b((m-1)/2n))(b(m/2n) - b((m-1)/2n))
Jn := Sm=1..2n qn,m
Voor i ¹ j is E0[qn,iqn,j] = 0. Immers, neem bijvoorbeeld j > i:
Verder is
Samen geeft dit
Deze laatste uitdrukking convergeert met stijgende n als Riemannsom naar
wegens de continuïteit van b en f. Bovendien is de convergentie stochastisch gedomineerd door ||f||¥2.
We tonen nu aan dat de rij (Jn)n een Cauchyrij is in L2(Db) en dus convergeert naar een kwadratisch integreerbare stochastische variabele:
De limiet in kwestie bestaat dus. Bovendien is
////
Voorgaande stelling kan vrijwel letterlijk herschreven worden om het bestaan aan te tonen van
voor diadische s en t, 0 £ s < t. Slechts het bereik van de sommatie-indices moet aangepast worden. Bovendien geldt dat de som der stochastische integralen van s tot u en van u tot t gelijk is aan de stochastische integraal van s tot t, en dit laatste object is L2-continu in s en t:
Deze laatste eigenschap laat toe de definitie te veralgemenen tot willekeurige s en t ³ 0 en te verifiëren dat nog steeds
Paragraaf 3.5 suggereerde dat we een stochastische integraal nodig hebben ten opzichte van de Wienermaat, net zozeer als ten opzichte van de Brownse beweging. Daarom herformuleren we stelling 3.6 in volgend
Zij w een n-dimensionaal Wienerproces, f:Ân®Ân kwadratisch integreerbaar en continu differentieerbaar met f en f' begrensd.
Dan bestaat de L2(dm0)-limiet
en bovendien is
(met E de verwachtingswaarde t.o.v. de Wienermaat)
Behalve de laatste gelijkheid is dit identiek met het bewijs van stelling 3.6, waar overal b door w vervangen wordt. De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat w(s) de verdeling van de Lebesguemaat heeft.
////
De stochastische limietvariabele heet de Itô-integraal van de vectorwaardige functie f.
De Itô-integraal zoals hij reeds besproken werd, bepaalt een isometrie
L2(Ân) Ç C1(Ân) Ç {f en f' begrensd} ® L2(W)
waarbij links en rechts de L2-metriek werd gekozen. Het domein van deze isometrie is metrisch onvolledig en kan dus op canonieke wijze vervolledigd worden. Expliciet: iedere kwadratisch integreerbare vectorwaardige functie is de L2-limiet van een rij functies waarvoor de Itô-integraal gedefinieerd is. De Itô-integralen van deze functies vormen een Cauchyrij in L2(W), waarvan de limiet dan de Itô-integraal van de oorspronkelijke functie wordt genoemd. Men ziet gemakkelijk dat het resultaat van deze constructie onafhankelijk is van de gekozen rij.
Tenslotte breiden we de definitie van de Itô-integraal nog uit tot lokaal kwadratisch integreerbare vectorfuncties. Zij f Î L2loc(Ân) en noteer met B(0,R) de gesloten bol met straal R omheen de oorsprong. Voor bijna alle w Î W bestaat de limiet
want {w(s);0 £ s £1} is compact. Deze laatste puntsgewijze limiet nemen we nu aan als standaarddefinitie van de Itô-integraal.
De Itô-integraal zoals hij hier gedefinieerd werd, is een functieklasse, op m0-equivalentie na, van W naar Â. Itô zelf heeft echter een puntsgewijze definitie gegeven voor een veel ruimere klasse integranda, nl. de zogenaamde nonanticipating functionals, i.h.b. dus voor functies die afhangen van het gekozen pad. Hoewel Itô's definitie iets meer inleiding vraagt, geeft zij meteen een aantal handige eigenschappen van de stochastische integraal cadeau, zoals bijvoorbeeld continuïteit in de bovengrens (bij ons lemma 3.14).
[McKean1] presenteert deze definitie op een erg overzichtelijke wijze.
We hebben nu in bepaalde gevallen het bestaan van de limiet in paragraaf 3.5 geverifieerd, in andere gevallen hebben we een analoog begrip gedefinieerd. Alvorens 3.5 als een stelling te herformuleren, geven we nog een lemma dat de sprongen van de Brownse beweging in toom houdt. Dit zal nodig zijn om later met middelwaarden van afgeleiden te kunnen rekenen.
Definieer voor een gegeven Brownse beweging b en een exponent a > 2, en voor elk positief natuurlijk getal n:
Dan convergeert f(b;n,a) P0-bijna zeker én in elke Lp-norm (1 < p < ¥) naar 0.
De notaties zijn eenvoudiger voor ééndimensionale beweging, en dit houdt geen beperking in van de draagwijdte van de redenering.
We voeren eerst drie symbolen in.
Zij d(n,a,k) := |b(k/2n) - b((k-1)/2n)|a (1 £ k < 2n). Dan is
Noteer tenslotte
Wegens de onafhankelijke toenamen van de Brownse beweging is
(de producttermen hebben immers verwachting nul).
Vervang nu het gemiddelde D(n,a) door een slechtere kwadratische schatting, namelijk 0:
Deze laatste uitdrukking kan berekend worden:
E0[d(n,a,k)2] = 2-nac2a
Samengevat luidt de zojuist bewezen ongelijkheid
E0[|f(b;n,a) - 2n(1-a/2)ca|2] £ 2n(1-a)c2a
Tenslotte is
P0(|f(b;n,a)| > 2e) | £ | P0(|f(b;n,a) - 2n(1-a/2)ca| > 2n(1-a)ca) |
(voor e > 0 willekeurig en n zo groot dat 2n(1-a/2)ca < e) | ||
£ | E0[|f(b;n,a)-2n(1-a/2)ca|2](2n(1-a/2)ca)2 | |
£ | c2aca22n[(1-a)+2(1-a/2)] |
en dit is de algemene term van een sommeerbare reeks in n. Wegens het eerste lemma van Borel-Cantelli is dan
P(lim supn®¥ f(b;n,a) > 2e) = 0.
De Lp-convergentie volgt uit de driehoeksongelijkheid voor deze norm:
////
Voor een vectorpotentiaal A Î C2(Ân) waarvoor de waarden van de functie en die van al haar eerste en tweede afgeleiden begrensd zijn, en voor een scalaire potentiaal V = 0 geldt het Feynman-Kac-Itô-formalisme, dat we hier in zijn algemene vorm geven:
(e-tHg)(x) = Ex[eF(b,t)g(b(t))] (g Î L2(Ân), x Î Ân)
waar F(b,t) in het algemeen wordt gegeven door
Uit paragraaf 3.5 weten we dat (e-tH(A)g)(x) als functie van x de L2-limiet voor stijgende n is van Ex[eFn(b,t)g(b,t)], waar
We zullen bewijzen dat hiervan een deelrij puntsgewijs in x convergeert naar Ex[eF(b,t)g(b,t)]. Dit impliceert dan meteen L2(Ân)-convergentie voor de hele rij naar de gewenste limiet.
Omdat iFn zuiver imaginair is, volstaat het aan te tonen dat voor een deelrij indices k(n):
voor bijna alle paden b(t) van de Brownse beweging.
Zowel Fk(n)(b,t) als F(b,t) zijn de som van hun ééndimensionale componenten, zodat de keuze n = 1 geen beperking inhoudt.
We berekenen de kwadratische afwijking tussen F2n(b,t) en de 2n-de Riemannsom voor F(b,t):
Noem de eerste term tussen de accoladen Rk, de tweede Tk.
Noteer ||.||2 voor de L2-norm ten opzichte van Ex, dan is:
en door op twee van deze termen lemma 3.10 toe te passen (deel 2: L2-convergentie) ziet men dat dit willekeurig klein wordt voor voldoende grote n.
Maar dit wil zeggen dat een deelrij van (F2n(b,t))nÎN naar F(b,t) convergeert voor bijna alle paden b(t).
////
Stelling 3.11 kan zonder veel extra moeite uitgebreid worden tot de klasse der potentialen V die continu zijn en langs onder begrensd, zoals we nu zullen illustreren.
Vermeerder in stelling 3.11 de termen Fn(b,t) met een bedrag
dan blijft de convergentie Fn(b,t)®F(b,t) gelden. Om deze vermeerdering te verantwoorden in paragraaf 3.5, moeten we bewijzen dat
Maar dit is niet zo moeilijk: eerst en vooral is
Zij Rs := Qse-sV, dan is ||Rs|| £ es.min(V) en stelling 3.4 kan bijna letterlijk herschreven worden met Rs in plaats van Qs om te bewijzen:
e-tH(A) = s-limn®¥(Rt/n)n.
Een verdere veralgemening tot zeer ruime klassen van scalaire en vectorpotentialen wordt gegeven in [Simon1], p. 163.
Voor een vectorpotentiaal A Î C2(Ân) waarvoor de waarden en de eerste en tweede afgeleiden begrensd zijn en een continue scalaire potentiaal V die langs onder begrensd is, geldt het Feynman-Kac-Itô-formalisme:
(f,e-tH(A)g) = òeF(w,t) f(w(0))g(w(t))dm0(w) (f,g Î L2(Ân))
Is een rechtstreeks gevolg van voorgaande stelling, de definitie van de Wienermaat en van het scalair product in L2(Ân).
////
Zij mt de maat op de Borelstam van  met dichtheid
Als A:Ân®Ân Borelmeetbaar is en kwadratisch integreerbaar ten opzichte van mt en b:W ´ [0,¥[®Ân een Brownse beweging, dan is
bijna zeker linkscontinu in ieder tijdstip t0 > 0.
Veronderstel eerst dat A begrensd is. Dan is voor 0 £ s < t:
en dus is
L2-linkscontinu.
Definieer voor algemene A Î L2(mt), n Î N:
An := A.1(|A|<n)
Dan is elke An begrensd, en An2 convergeert met stijgende n naar A2 in L1(mt).
Zij nu een willekeurige e > 0 gegeven. Dan kan n Î N gekozen worden zodat
en d > 0 kleiner dan e2/4||An||¥2
Voor |r - t| < d, 0 < r < t is dan
en de willekeur van e bewijst de L2-linkscontinuïteit van
maar hieruit volgt de bijna zekere linkscontinuïteit van deze functie in ieder tijdstip t0 afzonderlijk.
////
We zullen dit lemma nu gebruiken om FKI te herformuleren voor de Brownse brugmaat m0,x,y;t. Dit geeft een integraalkern voor de evolutie-operator e-tH. De gebruikte techniek is het probleem te herleiden tot Brownse beweging.
Zij V een Borelmeetbare reëelwaardige functie op Ân en A een continu differentieerbaar vectorveld dat kwadratisch integreerbaar is ten opzichte van de eerder gedefinieerde maat mt. Noem
Veronderstel dat voor een zekere Borelmeetbare f:Ân®C, x Î Ân en t > 0:
Dan is voor die x en t:
Noem Vk := min(V,k), en
Wegens puntsgewijze convergentie, gedomineerd door
is
Wegens voorgaand lemma is bijna zeker:
dus:
Verder is de Brownse beweging een Markovproces:
Per definitie is
en dus is
////